【第71期】行程与牛吃草结合问题
【例 1】一个水库在年降水量不变的情况下,能够维持全市 12 万人 20 年的用水量。在该市 新迁入 3 万人之后,该水库只够维持 15 年的用水量。市政府号召节约用水,希望能将水库的 使用寿命提高到 30 年。那么该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?
A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4
【解析】A。由题干可知,水库内原有水量是原始量,降水是对原始量的增加,居民用水是对原始量的减少,符合牛吃草问题的基本模型。年降水量相当于草生长速率,人数就相当于牛头数。则可设年降水量为 x,每万人每年原用水量为 1,节水后每万人每年用水量为 y,则可列出等 式(12-x)×20=(12+3-x)×15=〔15y-x〕×30=初始水库中水量,解得 y=3/5,则节水比例为 2/5, 所以 A 为正确选项。
【例 2】某河段中的沉积河沙可供 80 人连续开采 6 个月或 60 人连续开采 10 个月。如果要保 证该河段河沙不被开采枯竭,问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积 的速度相对稳定)
A.25 B.30 C.35 D.40
【解析】B。由题干可知,原有河沙为原始量,沉积是对原始量的增加,开采是对原始量的减少, 符合牛吃草问题的基本模型。沉积速度相当于草生长速度,开采人数相当于牛的头数,直接利 用公式:(80-x)×6=(60-x)×10,x=30,所以答案选择 B 项。
【例 3】牧场上有一片青草,每天都匀速生长。这片青草供给 10 头牛吃,可以吃 12 天;或 者供给 15 头牛吃,可以吃 6 天。如果供给 20 头牛吃,可以吃多少天?
【解析】4天。假设 每头牛每天吃 1 份草,N 头牛每天就吃 N 份草;假设草每天生长 X 份,则我们可以得出牛吃草 的追及公式:M=(N - X)×T。然后将题干中的数据代入可得:(10 - X)×12=(15 - X)×6=(20 - X)×T,解得 X 为 5,T 为 4。即对于 20 头牛,4 天就吃完了牧场上的草。
例3就是典型的牛吃草问题,在题目中,原有一片草场就是一个原始量,草匀速生 长对应的原始量的增加,牛吃草对应的原始量的减少,我们用线段 AB 来表示草场,用一幅图来分析一下牛吃草的规律。
假设牧场原有草量是 M(即 AB 段长),牛从最左端 A 处开始向右吃草,草从 B 段开始向右 生长,经过 T 天后,在 C 处草被吃完了。相当于草从 B 点到 C 点,同时牛从 A 点到 C 点,很明 显与行程问题中的追及问题模型是一样的。因此我们可以用追及公式来解决牛吃草问题。
假设 每头牛每天吃 1 份草,N 头牛每天就吃 N 份草;假设草每天生长 X 份,则我们可以得出牛吃草 的追及公式:M=(N - X)×T。然后将题干中的数据代入可得:(10 - X)×12=(15 - X)×6=(20 - X)×T,解得 X 为 5,T 为 4。即对于 20 头牛,4 天就吃完了牧场上的草。
从这个问题我们就可以总结牛吃草问题的一个重要模型,即有一个原始量,对该原始量进 行一增一减两个操作,这样的问题就可以看作牛吃草问题,解题方法就是利用追击公式,列出 (牛速-草速)×时间= 原始量,代入数据求解即可